《思考的乐趣》读书笔记

matrix67数学笔记

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生活中的数学

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1.概率论教你说谎

贝叶斯定理,即条件概率公式

P(A|B) = P(B|A)·P(A)/P(B)

从说谎的现实情境下，P(A|B)可以看做是当事人提供了新的证据之后人们对原事件发生概率的看法。立业贝叶斯定理我们可以发现，P(A|B)与P(B|A)和P(A)成正比，与P(B)成反比。因此为了让人们相信事件A没发生，作为伪证的事件B一定要具有这样的性质：它本身很可能发生，但伴随事件A本身一起发生就很不可思议。为了使P(A|B)变得更低，我们要充分利用这个伪证：

• 减小P(B|A)： 不要轻易拿出证据，故意做出没法拿出证据的样子，让人越来越坚信在事件A之后还能发生事件B的概率有多小
• 增加P(B): 平时要做好铺垫
• 减小P(A): 不要一副鬼鬼祟祟的样子，提高自己的人品，不至于让人一看见你就说是你干的

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2.找东西背后的概率问题

各种违反常理的错句图片和数学事实告诉我们，直觉并不可靠，其实这本身就是一种错觉，它让我们觉得直觉总是不可信。事实上，多数情况下，直觉都是可信的。举个栗子:

书桌有8个抽屉，分别编号1~8。每次拿到一份未见，我会斗鸡把这份文件放到一个抽屉里，但是我有1/5的概率忘了把文件放到抽屉里，最后这个文件就丢了。现在我要找一份文件，我将按顺序打开每一个抽屉，直到找到这份文件为止。考虑下面三个问题：

• 假如我打开了第一个抽屉，发现里面没有我要的文件。这份文件在其余7个抽屉里的概率是多少？
• 假如我翻遍了前四个抽屉，里面都没有我要的文件，这份文件在剩下的4个抽屉里的概率是多少？
• 假如我翻遍了前七个抽屉，里面都没有我要的文件，这份文件在最后一个抽屉里的概率是多少？

事实上，三个概率值分别为7/9,2/3和1/3。有点出人意料，概率在不断减小。有点出人意料，但是不是没有道理。这郑反映了我们生活中的心理状态，与我们的直觉完全相符：假如我肯定我的文件没搞丢，每次发现抽屉里没有我要的东西时，我都更加相信它在剩下的抽屉里；但如果我的文件有可能搞丢了，每翻过一个抽屉但没有找到文件时，我都会更加慌张。我会越来越担心，感觉希望渺茫，直到最后一个抽屉。
有个非常巧妙地方法可以算出上面的三个概率：注意到，平均每10份文件就有两份被搞丢，我们可以在原来的8个抽屉中再虚拟出两个抽屉用来装丢了的文件，由此我们把题目等价的变为：随机把文件放在这十个抽屉里，但找文件事不允许打开最后两个抽屉，当我已经找过n个抽屉但仍没有找到我要的文件时，文件只能在剩下的10-n个抽屉里，但我只能打开剩下的8-n个抽屉，因此所求的概率是 8-n/10-n。当n=1、4、7时，这个概率分别为7/9,2/3和1/3.
如果把上式改写，我们可以得到 1-2/10-n,容易看出，当0<=n<=8时，它是一个递减函数。